色々調べて試してみたところ、
自動アップグレードに成功したので、その方法をご紹介。

coreserverでは、
WordPress本体のアップグレードやプラグインのアップデート、
テーマのアップデートなどでエラーが発生します。

大体こういったエラーです。
Warning: touch() [function.touch]: SAFE MODE Restriction in effect.
Warning: fileowner() [function.fileowner]: SAFE MODE Restriction in effect.
Warning: fileowner() [function.fileowner]: stat failed
Warning: unlink() [function.unlink]: SAFE MODE Restriction in effect.

PHPのセーフモードの制限に引っ掛かっているようです。

php.iniや.htaccessの設定で回避できるかな、と思って調べてみると、
.htaccess で制御できる事が判明。
PHPをCGIモードで動かせば良いようです。

wp-admin 配下に .htaccess を作り、
.htaccess に以下の一行を記述します。
AddHandler application/x-httpd-phpcgi .php

これで正常にWordPressの自動アップグレードが成功しました。

しかし、アップグレード後の管理画面の挙動がおかしいので、
アップグレード完了後は、.htaccessをリネームして、
制御がきかないようにしています。

CGIモードでない方が一般的に高速と言われるので、
アップグレードの時だけ、.htaccessを有効にする方法が
良さそうですね！